Matematika/Mátrix/Inverz

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Egy n-szer n-es A mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha létezik egy olyan B mátrix, melyre igaz: AB = In ( = BA). Ebben az esetben a B mátrix az A mátrix inverz mátrixa és A−1-al jelölik.

[szerkesztés] Invertálható mátrixok tulajdonságai

Egy A n × n mátrixra a következő kijelentések egyenértékűek:

  • A invertálható.
  • det A ≠ 0.
  • rang A = n.
  • Az Ax = 0 egyenletnek csak a triviális megoldása létezik: x = 0
  • Létezik egy B n × n mátrix ú.h. AB = In.
  • AT invertálható.
  • A^T \times A invertálható.

Egy A invertálható mátrix inverze is invertálható,

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A .

Két azonos méretű A és B invertálható mátrix szorzatának inverze is invertálható, és fennáll a következő egyenlőség:

\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

(a faktorok sorrendje felcserélődik)


[szerkesztés] Számítás

Egy mátrix inverzét a következő módon lehet kiszámolni:

A^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\left(C_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{j1} \\ C_{12} & \ddots & & C_{j2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ C_{1i} & \cdots & \cdots & C_{ji} \\ \end{pmatrix}

Ahol:

  • |A| az A mátrix determinánsa
  • Cij az A mínusz az i-edik sor és a j-edik oszlop által képzett mátrix determinánsa megszorozva (-1)i+j -el
  • AT a mátrix transzponáltja (ATij = Aji).

[szerkesztés] Példa

TODO

A lap eredeti címe: „http://hu.wikibooks.org/wiki/Matematika/M%C3%A1trix/Inverz”