Matematika/Mátrix/Determináns

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíciók, jelölés

[szerkesztés] 2×2-es mátrix determinánsa

A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}

2×2-es mátrix determinánsa

\det(A)=ad-bc.\,


[szerkesztés] 3×3-as mátrix determinánsa

A=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}

3×3-as mátrix determinánsa

\det(A)=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix} -b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix} +c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg.

ami tovább

\det(A)=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.\,

[szerkesztés] Magasabb rangú mátrixok determinánsa

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}\end{bmatrix}

n×n-es mátrix determinánsa

Egy determinánst egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható.

  • egyelemű mátrix determinánsa önmaga: det[a]=a

Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje :Aij az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! Ekkor a determináns:

\det(A)=a_{11}detA_{11}-a_{12}detA_{12}+a_{13}detA_{13}-+...+(-1)^{n-1}a_{1n}detA_{1n}.\,

A (-1) hatványai az előjelváltogatáshoz kellenek. Tehát a rekurziós formula használható minden kvadratikus mátrixra. Azért rekurziós, mert mindig egy minormátrix determinánsára vezetjük vissza a problémát. Megállni az 1*1-es minormátrixnál kell.

Igazolható, hogy akármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):

A=\begin{bmatrix}+&-&+&-\\ -&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{bmatrix}

Példa: Legyen:

A=\begin{bmatrix}2&1&1&1\\ 4&3&6&4\\6&7&21&16\\2&3&15&23\end{bmatrix}

Ekkor det(A)=12, mivel:

\det(A)=a_{11}detA_{11}-a_{12}detA_{12}+a_{13}detA_{13}-+...+(-1)^{n-1}a_{1n}detA_{1n}.\,

, azaz:

\det(A)=2\begin{vmatrix}3&6&4\\7&21&16\\3&15&23\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}4&6&4\\6&21&16\\2&15&23\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}4&3&4\\6&7&16\\2&3&23\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}4&3&6\\6&7&21\\2&3&15\end{vmatrix}.\,

, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:

\det(A)=2*(3*243-6*113+4*42)-1*(4*243-6*106+4*48)+1*(4*113-3*106+4*4)-1*(4*42-3*48+6*4).\,

[szerkesztés] Determinánsok Tulajdonságai

  • Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:
\det(AB) = \det(A)\det(B) \,, bármely A és B n×n mátrixra.
  • \det(rI_n) = r^n \,, ebből következik
\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A) \,, bármely A n×n mátrixra és bármely r skalárra.
  • \det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}= 1 / det(A) \,
  • Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:
\det(A^\top) = \det(A). \,
  • Egy A mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
    1. Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
    2. Egy sor vagy oszlop m-el való szorzása a determináns m-el való osztását okozza.
    3. Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
    4. A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai lineárisan összefüggnek
    5. Ha valamelyik oszlopa csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla.

[szerkesztés] Példa

TODO

A lap eredeti címe: „http://hu.wikibooks.org/wiki/Matematika/M%C3%A1trix/Determin%C3%A1ns”