Matematika/Deriválás/Szabályok

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

  • Állandó függvény deriválása: ha f(x) állandó, akkor
f'(x) = 0 \,
  • A deriválás lineáris:
(af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x) \, bármely f és g függvényre és bármely a és b valós számra.

Speciális esetek:

  • szorzás állandóval
(af)' = a\,f' \,
  • összeadás
(f + g)' = f' + g'\,
  • kivonás
(f - g)' = f' - g'.\,
  • függvények szorzatának deriválása:
(f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) \, bármely f és g függvényre.
  • összetett függvény deriválása:
(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x) \,.

[szerkesztés] Elemi függvények deriváltjai

  • hatványok deriváltjai: ha f(x) = xr, bármely (nem zéró) r valós számra, akkor
f'(x) = rxr − 1, ahol ez a függvény értelmezett.

Példa: ha r = 1/2, akkor f'(x) = (1/2)x−1/2 csak nem negatív x -szel értelmezett. Ha r = 0, az állandó függvény deriválási szabálya alkalmazható.

  • exponenciális és logaritmus függvények:
(ex)' = ex.
ln'(x) = 1 / x.
  • trigonometriai függvények:
sin'(x) = cos(x).
cos'(x) = − sin(x).

[szerkesztés] Példa

f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\

deriváltja

\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ (x^2)' \cos (x^2) - (\ln {x})' e^x - \ln{x} (e^x)' + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}

Itt a második tag deriváltját az összetett függvények deriválási szabályával számítottuk ki, a harmadik tagot pedig a függvények szorzatának deriválási szabályával: a következő elemi függvények ismert deriváltjait is felhasználtuk: x2, x4, sin(x), ln(x) és exp(x) = ex.

A lap eredeti címe: „http://hu.wikibooks.org/wiki/Matematika/Deriv%C3%A1l%C3%A1s/Szab%C3%A1lyok”