Matematika/Deriválás/Szabályok

• Állandó függvény deriválása: ha f(x) állandó, akkor

$f'(x) = 0 \,$

• A deriválás lineáris:

$(af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x) \,$ bármely f és g függvényre és bármely a és b valós számra.

Speciális esetek:

• szorzás állandóval

$(af)' = a\,f' \,$

• összeadás

$(f + g)' = f' + g'\,$

• kivonás

$(f - g)' = f' - g'.\,$

• függvények szorzatának deriválása:

$(f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) \,$ bármely f és g függvényre.

• függvények hányadosának deriválása:

$\left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ bármely f és g függvényre, ahol g ≠ 0.

• összetett függvény deriválása:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x) \,$.

Elemi függvények deriváltjai

• hatványok deriváltjai: ha $f(x) = x^r$, bármely (nem zéró) r valós számra, akkor

$f'(x) = rx^{r-1},$ ahol ez a függvény értelmezett.

Példa: ha r = 1/2, akkor f'(x) = (1/2)x^−1/2 csak nem negatív x -szel értelmezett. Ha r = 0, az állandó függvény deriválási szabálya alkalmazható.

• exponenciális és logaritmus függvények:

$(e^x)' = e^x.$

$ln'(x) = 1/x.$

• trigonometriai függvények:

$\sin'(x) = \cos(x).$

$\cos'(x)= -\sin(x).$

Példa

$f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\$

deriváltja

$\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ (x^2)' \cos (x^2) - (\ln {x})' e^x - \ln{x} (e^x)' + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}$

Itt a második tag deriváltját az összetett függvények deriválási szabályával számítottuk ki, a harmadik tagot pedig a függvények szorzatának deriválási szabályával: a következő elemi függvények ismert deriváltjait is felhasználtuk: x², x⁴, sin(x), ln(x) és exp(x) = e^x.